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Lineare Funktionalanalysis

Eine anwendungsorientierte Einführung

Lineare Funktionalanalysis by Hans Wilhelm Alt
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Die Funktionalanalysis behandelt allgemein die Struktur von Funktionenräumen und die Eigenschaften stetiger Abbildungen zwischen diesen Räumen. Die lineare Funktionalanalysis, die sich dabei auf lineare Abbildungen beschränkt, entwickelte sich aus der grundlegenden Beobachtung, daß sich die topologischen Begriffe des eu­ n klidischen Raumes IR auch auf Funktionenräume übertragen lassen. Wir wollen dies an einigen charakteristischen Beispielen darstellen. Dabei verwenden wir zum Teil erst in späteren Abschnitten definierte Begriffe und Bezeichnungen, verweisen aber meist auf die entsprechenden Stellen des Buches. Als erstes betrachten wir die Supremumsnorm stetiger Funktionen f auf einer be­ n schränkten abgeschlossenen Menge S des IR Ilfllco(s) := sup {lf(x)1 ; xE S} n Sie erfüllt dieselben Normaxiome (siehe 1.3) wie die euklidische Norm des IR n 1 IIXllRn := (L X~)"2 . ;=1 Ein Unterschied zwischen bei den Räumen besteht darin, daß es sich bei CO(S) im Ge­ gensatz zum IR" um einen unendlich-dimensionalen Raum handelt (falls S unendlich viele Punkte enthält). Dies ändert ganz wesentlich die Eigenschaften des Raumes. So n sind im IR alle beschränkten abgeschlossenen Mengen kompakt (siehe 2.24), jedoch nicht in CO(S) (siehe Satz von Arzela-Ascoli 2.25). Auch das Skalarprodukt des IR" n (x'Y)Rn := LXiY; ;=1 hat ein Analogon für Funktionenräume (siehe 1.9), nämlich U,g)L2(S) := / f(x)g(x)dx.
Springer Berlin Heidelberg; July 2013
302 pages; ISBN 9783662083864
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Title: Lineare Funktionalanalysis
Author: Hans Wilhelm Alt
 
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